Защищал Москву, освобождал советскую Белоруссию, воевал в Восточной Пруссии.
Андрей Илларионович Квашневский родился в 1904 году (по наградным документам, а по данным красноармейской книжки — в 1913 году) в селе Гусарка Запорожской области в семье рабочего. После окончания 4-х классов учебы в школе освоил престижную тогда на селе специальность тракториста.
Когда началась Великая Отечественная война был призван в ряды Красной Армии 10 июля 1941 года. Военную присягу принял 6 августа того же года.
8 августа 1941 года был зачислен в состав 108-го отдельного лыжного батальона, который формировался в городе Горький (ныне Нижний Новгород). Есть сведения, что костяк этого подразделения составляли бойцы, которые участвовали в знаменитом военном параде на Красной площади в Москве 7 ноября 1941 года и прямо оттуда шли на защиту ближних подступов советской столицы. Быть может, среди них был и Андрей Илларионович. Во всяком случае, в представлении на награждение его медалью «За оборону Москвы» указано, что он воевал в составе 108-го отдельного лыжного батальона с 23 октября 1941 года по 18 января 1942 года.
Это подразделение, о котором сохранилось совсем немного достоверной информации, с начала 1942 года участвовало в боях с противником в составе подвижной группы при прорыве сильно укрепленного Ламского рубежа и гжатском направлении в составе 2-го гвардейского кавалерийского корпуса под командованием прославленного советского военачальника Плиева. В марте, после понесенных тяжелых потерь, командованием было принято решение о расформировании отдельного лыжного батальона и его бойцы были переданы в состав других воинских подразделений.
Так Андрей Квашневский был зачислен в 5-ю батарею 2-го дивизиона 1099 пушечного артиллерийского полка Резерва Главного Командования. Здесь он стал трактористом-механиком, командиром отделения тяги, т. е. на своих «стальных конях» перевозил орудия большого калибра.
В мае 1943 года старший сержант Квашневский был награжден медалью «За отвагу», а также отмечен командованием знаком «Отличный тракторист». А в сентябре 1944 года приказом Военного совета 2-го Белорусского фронта он был награжден орденом Красной Звезды. «Отлично знает свое дело. 26 июня 1944 года под огнем противника своевременно провел пушки на огневые позиции. При совершении батареей марша свыше 600 км, все трактора не имели ни одной аварии и поломок. Небольшие дефекты устранялись на привалах. Благодаря неустанной работе с подчиненными, батарея прибыла к месту сосредоточения в срок», — записано в его наградном листе.
По окончании Великой Отечественной войны, после демобилизации в конце июня 1945 года, Андрей Илларионович Квашневский проживал в Донецке.В 1985 году, в год 40-летия Победы, был награжден орденом Отечественной войны I степени.